Der Satz von Vieta - Übungen - Beweis und Aufgaben

Das Ziel dieses Abschnitts ist es ein Verfahren zur Lösung von allgemeinen quadratischen Gleichungen der Form:

$a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0 $    herzuleiten.

Dazu betrachten wir zunächst ein Verfahren, dass zwar nicht alle Gleichungen dieser Art lösen kann, aber das für viele quadratische Gleichungen mit Lösungen in sehr einfach anwendbar ist: Das Lösen von quadratischen Gleichungen mit Hilfe des Satzes von Vieta. Man spricht bei diesem Verfahre auch von Faktorisieren, da die quadratische Gleichung mit Lösungen aus N (natürliche Zahlen) in zwei Faktoren zerlegt wird.

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Der Satz von Vieta

Der Satz von Viëta (François Viète, 1540 – 1603) ist ein sinnvolles und hilfreiches Mittel

a) zur Probe bei quadratischen Gleichungen,

b)  zum Aufstellen quadratischer Gleichungen, wenn die Lösungsmenge bekannt ist,

c) zum Lösen einer quadratischen Gleichung.

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Probe von quadratischen Gleichungen:

Quadratische Gleichungen (in allgemeiner Form auch Parabeln oder Polynomfunktionen vom Grade 2) haben fast immer eine oder zwei Nullstellen.

Wenn eine quadratische Funktion zwei Nullstellen hat, kann man die Nullstellen in der sogenannten Nullstellenform schreiben:

Beispiel:

Hat die Gleichung die Nullstellen $x_1 = 2$ und $x_2=4$, dann kann man die Gleichung wie folgt schreiben:

$(x-2) \cdot (x-4)=0$

Man sieht sofort, dass x = 2 oder x = 4 die Gleichung lösen, denn ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist.

Multipliziert man diese "Nullstellenform" aus, erhält man die eher bekannte "Normalform" einer quadratischen Gleichung:

$(x-2) \cdot (x-4)=x^2 - 4x - 2x +8 = x^2 -6x +8$

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Verallgemeinerung: für eine Lösungsmenge $L=\{x_1;x_2\}$

Wenn $x_1$ und $x_2$ Lösung einer quadratischen Gleichung sein sollen, dann müssen diese beiden Lösungen die folgende Gleichung lösen:

$(x - x_1)\cdot (x-x_2)=0$

Wir multiplizieren diese Gleichung aus und erhalten die sogenannte Normalform einer quadratischen Gleichung:

$(x - x_1)\cdot (x-x_2)=0$

$x^2 - x_1 \cdot x - x_2 \cdot x + x_1 \cdot x_2 = 0$

$x^2 - (x_1 + x_2) \cdot x + x_1 \cdot x_2 =0 $

Ein Vergleich mit der allgemeinen Form für die p-q-Formel $x^2+p \cdot x + q = 0$ zeigt uns, dass man gleichsetzen kann:

$p =(x_1 + x_2)$ und $q = x_1 \cdot x_2 $ .

Auf diese Art haben wir eine quadratische Gleichung in Normalform erhalten, die zu der gegebenen Lösungsmenge passt.

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Satz von Vieta Beweis

Wir zeigen nun: Für jede lösbare quadratische Gleichung in der Normalform gilt 

$p=-(x_1 + x_2)$ und $ q = x_1 \cdot x_2$

Wir starten mit der allgemeinen quadratischen Gleichung $x^2+p \cdot x+q=0$. Diese habe die Lösungen $x_1$ und $x_2$.

Nach der p-q-Formel (allgemeine Lösungsformel für quadratische Gleichungen) gilt:

$x_1 = -\frac{p}{2} + \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$     und        $x_2 = -\frac{p}{2} - \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$ 

$x_1 + x_2 = -\frac{p}{2} + \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} -\frac{p}{2} - \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} = - p $       damit ist die erste Bedingung gezeigt.

$x_1 \cdot x_2 = \left( -\frac{p}{2} + \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} \right) \cdot \left( -\frac{p}{2} - \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} \right) $

Mit der 3. binomischen Formel in einem Schritt ausmultipliziert:

$ = \left( \frac{p}{2} \right)^2 - \left( \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}  \right)^2 = \left( \frac{p}{2} \right) ^2 - \left( \frac{p}{2} \right) ^2 +q = q $

Damit haben wir gezeigt, dass $x_1$ und $x_2$ die Lösungen der allgemeinen quadratischen Gleichung $x_2x^2+p \cdot x + q =0 $ sind.

Für die Koeffizienten $p$ und $q$ gilt:  $p=-(x_1 + x_2)$ und $ q = x_1 \cdot x_2$ .

Für diesen Satz gilt auch die Umkehrung.

D.h. wir können anstelle von $p$ und $q$ die Formeln mit $x_1$ und $x_2$ einsetzen.

Den Umkehrsatz wollen wir an dieser Stelle nicht zeigen und dir überlassen.

Nachdem wir den Satz von Vieta nun bewiesen haben, können wir die allgemeine Definition formulieren.

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Die formale Definition - Der Satz von Vieta

Wenn $n_1$ und $n_2$ die Gleichung $x^2 + p\cdot x + q =0 $ lösen, dann gilt: 

$-(n_1+n_2)= p $ und $n_1 \cdot n_2 = q$ .

Alternative Form, die vielleicht eher bekannt ist und nicht so formal klingt:

Die Gleichung $x^2 + p \cdot x + q = 0$ lässt sich umformen:

$(x+a) \cdot (x+b) =0 $ mit $a \cdot b = q$ und $(a + b) = p$ .

Die Lösung der quadratischen Gleichung lautet dann:

$L = \{-a; -b \}$

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Satz von Vieta Aufgaben und Übungen:

1. Aufgabe:

Eine quadratische Funktion habe die Nullstellen bei $x_1 = 2$ und bei $x_2=8$.

Dann ist der Parameter $p = -(2+8) = -10$ und $q = 2 \cdot 8 = 16$. Die allgemeine Form der quadratischen Gleichung lautet dann $x^2 - 10x + 16=0$

2. Aufgabe: 

Eine quadratische Gleichung habe die Lösungsmenge $L=\{-3; -1 \}$

Dann ist der Parameter $p = -(-1-3) = 4$ und $q = (-3) \cdot (-1) = 3$. Die allgemeine Form der quadratischen Gleichung lautet dann $x^2 +4x +3=0$

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Übungsaufgaben zum Satz von Vieta

(Wir faktorisieren quadratische Gleichungen)

Versuche mit Hilfe des Satzes von Vieta die folgenden quadratischen Gleichungen umzuformen und zu lösen!

a)  $x^2 - 5x + 6 = 0$

b)  $x^2 + 7x + 12 =0$

c)  $x^2 + 3x - 4 =0$

d)  $x^2 - 4 = 0$

e)  $x^2 + 4=0 $

f)  $5x^2+5x-30=0 $

g)  $x^2-16x+64=1 $

h)  $2x^2 + 4x + 2 =0 $

i)  $2x^2 + 4x +1=0 $